無限等比級数

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    「自分が何かを本当に理解できたかどうかは、
    人に説明してみるとわかる」
    なんてことを言いますよね。

    無限等比級数ってのが、よくわかりませんでした。
    10年来の友人で、自称「天才数学者」のS氏に、
    この説明をしてもらいました。
    ワシが理解できているかどうか、
    ちょっと自分で説明してみたいと思います。

    1 + e + e^2 + e^3 + ・・・
    (「^」は「べき乗」をあらわす。e^2は「eの2乗」)

    という足し算を延々と続けて行くと、その和は
    1/(1-e)
    に収束する、というものです。

    この式は知っていましたが、「どうしてそうなるのか」が
    よくわかっていませんでした。

    ちなみに無限等比級数ってのは、日常生活で使うことは
    あまりありませんので、ご安心を(^^;

    1 + e + e^2 + ・・・ を「x」とします。

    x = 1 + e + e^2 + ・・・

    この式を(1)とします。
    このxの値を求めればいいわけですね。

    両辺にeを掛けます。
    等式なので、両辺に同じ値を掛けても、
    「=」であることには変わりがありませんね。

    ex = e + e^2 + e^3 + ・・・

    この式を(2)とします。

    式(1)から式(2)を引きます。
    式(1)の左辺から式(2)の左辺を、
    式(1)の右辺から式(2)の右辺を、
    それぞれ引きます。

    この場合も、等式の両辺から同じ値を引いているので、
    結果が等式であることには変わりないですね。

    左辺 x - ex

    右辺 (1 + e + e^2 + ・・・) - (e + e^2 + e^3 + ・・・)

    右辺は、最初の1を除いて同じですから、引くと1になります。

    x - ex = 1
    x(1-e) = 1
    x = 1 / (1 - e)

    なるほどー。
    思っていたより、簡単だ。

    Googleで「無限等比級数」を引いてみると、
    もっと難しい式を使って説明しているページが多いようです。

    数学がからっきし苦手なワシに対して、
    上手に説明してくれたS氏に感謝。

    人にわかりやすく説明できるスキルって、すごいなー。
    S氏、天才数学者かどうかはよくわからんが、
    わかりやすい説明であったよ。

    ありがとう。

    コメント
    めっちゃくちゃわかりやすかったです。
    助かりました!
    • かば
    • 2010/07/08 11:50 PM
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